Решаем варианты ЕГЭ по математике: какие задачи повторяются из года в год?

31 мая 2025

Капитон Першин здесь. За 20 лет подготовки абитуриентов я понял главное: ЕГЭ по математике – не лотерея, а чётко структурированный экзамен. Сегодня разберём типовые задачи, которые кочуют из варианта в вариант. Запоминайте, это ваша дорожная карта к 80+ баллам.

Текстовые задачи: неизменная классика

Каждый год в первой части встречаются 4 типа сюжетов. Движение – когда объекты догоняют друг друга или движутся навстречу. Помните: ключ в составлении уравнения через скорость и время. Проценты и банковские вклады – здесь вас ждут задачи с капитализацией. Фишка: рисуйте таблицу наращения суммы помесячно. Совместная работа – где трубы наполняют бассейн, а бригады ремонтируют дороги. Секрет: выражайте производительность как 1/t. Смеси и сплавы – учитесь визуализировать условие через прямоугольники концентраций.

Тригонометрия: 5 шаблонных уравнений

Во второй части стабильно появляются:

1. Однородные уравнения вида a·sinx + b·cosx = c
2. Разложение на множители через формулы двойного угла
3. Системы с ограничениями ОДЗ
4. Комбинации с параметрами в №18
5. Замаскированные уравнения типа sin(πx) = 0.5

Тренируйтесь преобразовывать √3·sinx – cosx в 2·sin(x – π/6) – это экономит 10 минут на экзамене.

Планиметрия: вечные треугольники и окружности

В задаче №16 вас ждёт комбинация из:

• Теоремы косинусов для нахождения сторон
• Свойств биссектрисы или медианы
• Вписанных/описанных окружностей с радиусными формулами
• Площадей через sin угла

Помните про “золотой” прямоугольный треугольник 5:12:13 – он встречается в 30% задач. Для четырёхугольников учите теорему Птолемея – она решает сложные задачи с вписанными ромбами за 2 шага.

Стереометрия: 3D-пазлы

В №14 повторяются сценарии:

1. Пирамида с проекцией вершины на основание
2. Призма с диагональным сечением
3. Комбинации тел (цилиндр в кубе или шар в конусе)

70% задач решаются методом координат. Начните с построения системы отсчёта от прямого угла. Для сфер запомните формулу d = √(R² – r²) – расстояние от центра до сечения.

Экономические задачи: №17

Здесь всего 4 сюжета:

• Кредиты с дифференцированными платежами
• Вклады с капитализацией
• Оптимизация прибыли бизнеса
• Сравнение схем инвестирования

Для кредитов составляйте таблицу остатка долга после каждого платежа. Для бизнес-кейсов – функцию прибыли P(x) = R(x) – C(x), где x – цена товара или объём производства.

Параметры: королевская задача №18

Анализ 500 вариантов показал: параметры вращаются вокруг:

1. Расположение корней квадратного трёхчлена относительно точки
2. Количество решений смешанных систем
3. Графические интерпретации модулей
4. Условия касания кривых

Самый надёжный метод – “ветвление условий”: разбивайте задачу на случаи по критическим точкам. Для графиков рисуйте эскизы при крайних значениях параметра.

Теория вероятностей: №10

В 2025 году ожидайте:

• Задачи с игральными кубиками (особенно сумма очков ≥10)
• Комбинации карт из колоды
• Распределение шаров по ящикам
• “Ложные срабатывания” в медицинских тестах

Для условной вероятности используйте формулу Байеса. Запомните: если в задаче есть слово “хотя бы”, применяйте противоположное событие.

Производная: №11 и №12

В исследовании функций повторяются:

1. Нахождение точек максимума дробно-рациональных функций
2. Задачи на оптимизацию (труба через поворот коридора)
3. Касательные к сложным кривым
4. Физический смысл (скорость изменения)

Для №12 тренируйте логарифмическое дифференцирование – оно спасает в показательно-степенных функциях. В оптимизации всегда выражайте переменную через ограничение.

Секреты подготовки от ветерана

За 20 лет я выработал стратегию:

• Решайте варианты 2020-2024 годов – 80% задач повторятся
• Составляйте “матрицу ошибок”: таблицу тем, где вы стабильно ошибаетесь
• Для параметров учите геометрические интерпретации – это ключ к №18
• Тайминг: 60 минут на часть 1, 90 – на часть 2

Помните: экзамен проверяет не интеллект, а узнавание паттернов. Когда вы прорешаете 50 вариантов, мозг начнёт автоматически классифицировать задачи. Это и есть путь к сотке.

P.S. На последнем пробнике ученик сказал: “Да это же задача 2021 года, только числа другие!” – и решил её за минуту. Вот к чему надо стремиться. Удачи, коллеги по математическим фронтам!